METODE NUMERIK

Metode Numerik

Definisi, Prinsip dan Pemakaian or Kegunaan Metode Numerik

Metode Numerik adalah mata kuliah yang katanya finishing dari Aljabar Linear, Kalkulus dan Matematika diskrit.

Yuk's kita kenali, apa ce Metode Numerik itu??!! Let's GO....

1. Definisi Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

Mengapa Harus Metode Numerik ?

Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.

Jadi, Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakanmetode numerik sebagai elternative penyelesaian persoalan tersebut.

2. Prinsip-Prinsip Metode Numerik

-> Digunakan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi

-> Metode Numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik

-> Pendekatannya merupakan analisis matematis

-> Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah

-> Karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)

-> Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan.

3. Pemakaian Metode Numerik

Pemakaian Metode Numerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu :

a. Menyelesaikan persamaan non linier

b. Menyelesaikan persamaan simultan

c. Menyelesaikan differensial dan integral

d. Interpolasi dan Regresi

e. Menyelesaikan persamaan differensial

f. Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

4. Kegunaan Metode Numerik

Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.  Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.

1. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial.  Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
2. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
3. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau  program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
4. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana  yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

Interpolasi

Interpolasi adalah hal yang paling susah untuk saya pahami, jika ada soal dan mengharuskan saya melakukan modus interpolasi maka saya pun akan merasa malas dan menyontek teman padahal interpolasi itu tidaklah sesulit yang dibayangkan dan itu terjadi pada saya.

ada beberapa metode penyelesaian kasus-kasus interpolasi namun yang saya akan jelaskan kali ini adalah metode interpolasi perbandingan segitiga:

contoh : 

  

jika Y = 17, berapa nilai Z

Penyelesaian :

karena nilai Y = 17  itu artinya range didapat antara 15 sampai 20

dari tabel didapatkan;

H1=58

H2=70

B1=20-17=3

B2=20-15=5

          nilai x didapat = 65,20 

Metode integrasi numerik 

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan :

Metoda Euler Eksplisit

merupakan metoda integrasi yang paling mudah

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}$

Metoda Euler Implisit

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}}$

Pada metoda integrasi implisit nilai aktual ${\displaystyle x_{k}}$ juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}}$

J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

Metoda Heun

Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu ${\displaystyle u_{k}}$ dan ${\displaystyle u_{k-1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$

${\displaystyle x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})}$

Metoda Runge-Kutta

merupakan integrator dengan empat masukan.

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$

${\displaystyle x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})}$

${\displaystyle x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})}$

${\displaystyle x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})}$

Metoda Trapesium (Trapez)

merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})}$

Sama halnya dengan metoda Euler implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}}$

Metode Newton–Cotes

No.	Nama Aturan	Rumus	Estimasi Kesalahan
1	Trapezoid	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	Simpson 1/3	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	Simpson 3/8	${\displaystyle {\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	Boole atau Bode	${\displaystyle {\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	$$

Persamaan linear simultan

Persamaan linear simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:


Dimana :

a i j untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i
untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Persamaan linier simultan diatas dapatdinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu:

Matrik A = Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian
Vektor x = Vektor variabel
Vektor B= Vektor konstanta

Augmented Matrix ( matrik perluasan) dari persamaan linier simultan adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Teorema Persamaan Linier Simultan

Suatu persamaanlinier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat syarat sebagai berikut :

(1) Ukuran persamaan linier simultan bujur sangkar, dimana jumlah persamaan sama denganjumlahvariable bebas.

(2) Persamaanlinier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.

(3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Persamaan Non Linear

Kita ketahui bahwa persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel (silahkan baca pengertian persamaan linear dua variabel). Bagaimana dengan persamaan nonlinear dua variabel? Persamaan nonlinear dua variabel biasanya dinyatakan dalam bentuk ax2 + by2 = c atau (a/x) + (b/x) = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel. Contoh persamaan linear dua variabel yakni:

1) x2 – y2 = 8

2) (2/x) + (5/y) = 7

3) 5a2 + b2 = 7

4) –a2 – 4b2 = 9

5) 2/a + 3/b = 3

Kenapa persamaan di atas disebut nonlinear? Persamaan linear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya berupa garis lurus (linear), sedangkan persamaan nonlinear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya bukan garis lurus melainkan berupa garis lengkung, seperti contoh persamaan di atas. Silahkan Anda buktikan sendiri pada persamaan di atas, apakah benar bentuk grafiknya bukan garis lurus.

 

Sekarang, bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel seperti soal (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6?

Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya terlebih dahulu ke bentuk linear. Bagaimana mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear? Ok, sekarang kita selesaikan contoh soal di atas. Persamaan nonlinear (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 dapat diubah menjadi linear dengan cara membuat permisalan. Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, sehingga persamaan linear dua variabelnya menjadi:

(1/x) + (5/y) = 5 => a + 5b = 5

(2/x) + (3/y) = 6 => 2a + 3b = 6

Kemudian, selesaikan persamaan-persamaan tersebut dengan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan metode yang Anda sudah pahami. Misalkan kita gunakan cara cepat, yakni:

a + 5b = 5

2a + 3b = 6

=> b = (1.6 – 5.2)/(1.3 – 5.2)

=> b = (6 – 10)/3 – 10

=> b = (– 4)/(– 7)

=> b = 4/7

Selanjutnya substitusi nilai b = 4/7 ke persamaan a + 5b = 5, sehingga diperoleh:

=> a + 5b = 5

=> a + 5(4/7) = 5

=> a + 20/7 = 5

=> a = 5 – (20/7)

=> a = (35/7) – (20/7)

=> a = 15/7

Setelah diperoleh nilai a dan b, kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

1/x = 15/7

x = 7/15

1/y = b

1/y = 4/7

y = 7/4

Jadi, penyelesaian persamaan (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 adalah x = 7/15 dan y = 7/4.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

1). 2x2 – 3 = –(1 + y)2 dan x2 + (1 + y)2 = 2

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Penyelesaian:

1). Kita ketahui bahwa persamaan 2x2 – 3 = –(1 + y)2 ekuivalen dengan 2x2 + (1 + y)2 = 3, maka:

2x2 + (1 + y)2 = 3

x2 + (1 + y)2 = 2

Misalkan x2 = a dan (1 + y)2 = b, maka:

2x2 + (1 + y)2 = 3 =>2a + b = 3

  x2 + (1 + y)2 = 2 =>   a + b = 2

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.2 – 3.1)/(2.1 – 1.1)

=> b = 1

Substitusi nilai b = 1 ke persamaan a + b = 2, sehingga diperoleh:

=> a + b = 2

=> a + 1 = 2

=> a = 1

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

x2 = a

=> x2 = 1

=> x = 1

 (1 + y)2 = b

=> (1 + y)2 = 1

=> 1 + y = 1

=> y = 0

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1 dan y = 0.

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, maka:

(2/x) + (3/y) = 12 => 2a + 3b = 12

(3/x) –  (1/y) = 7  => 3a  – b  = 7

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.7 – 3.12)/(2.( –1) – 3.3)

=> b = (14 – 36)/( –2 – 9)

=> b = –22/–11

=> b = 2

Substitusi nilai b = 2 ke persamaan 3a  – b  = 7, sehingga diperoleh:

=> 3a  – b  = 7

=> 3a  – 2  = 7

=> 3a = 7 + 2

=> 3a = 9

=> a = 3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

=> 1/x = 3

=> x = 1/3

1/y = b

=> 1/y = 2

=> y = 1/2

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1/3 dan y = 1/2

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Misalkan √x = a dan √y = b, maka:

√x  +  √y = 4 => a  +  b = 4

2√x – √y = 3 => 2a– b = 3

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (1.3 – 4.2)/(1.( –1) – 1.2)

=> b = (– 5)/( –3)

=> b = 5/3

Substitusi nilai b = 3/4 ke persamaan a + b = 4, sehingga diperoleh:

=> a + b = 4

=> a + 5/3 = 4

=> a = 4 – 5/3

=> a = (12/3) – (5/3)

=> a = 7/3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

√x = a

=> √x = 7/3

=> x = (7/3)2

=> x = 49/9

√y = b

=> √y = 5/3

=> y = (5/3)2

=> y = 25/9

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 49/9 dan y = 25/9