MATERI ANALISA ALGORITMA

ANALISA ALGORITMA

ANALISIS ALGORITMA

Algoritma ialah satu set arahan yang dinyatakan dengan jelas yang akan diikuti oleh komputer untuk menyelesaikan suatu masalah.

Apabila sesuatu algoritma diberi untuk sesuatu masalah dan ditentukan sebagai betul, langkah seterusnya ialah menentukan jumlah sumber, seperti masa dan ruang, yang diperlukan oleh algoritma tersebut.

Langkah ini dikenali sebagai analisis algoritma.

Analisis yang dilakukan ke atas algoritma dari segi:

EFFECTIVENESS

Mudah difahami sesuatu algoritma

Mudah dilakukan semakan(tracing), biarpun manual.

Langkah-langkah adalah tersusun atau organize.

CORRECTNESS

Algoritma yang dihasilkan akan mengeluarkan output yang diharapkan atau dikehendaki 

dan betul

TERMINATION

Langkah-langkah penyelesaian bagi algoritma mempunyai ‘terminator’ yang telah ditentukan.

Termination atau pemberhentian akan berlaku seperti dirancang dan bukan disebabkan oleh masalah seperti looping dan out of memory atau unfinite value.

EFFICIENCY

Mengikur sejauh mana komputer menggunakan sumber yang diperlukan oleh algoritma.

COMPLEXITY

Satu analisis algoritma yang bersifat kualitatif.

Ia merujuk kepada kesukaran dalam perlaksanaan dan kesannya bagi satu algoritma.

Juga diukur dalam bentuk masa, iaitu masa yang sedikit diambil menggambarkan kurang kompleksitinya

Kriteria Algoritma yg baik

• Ada output
• Efektifitas dan Efisiensi
• Jumlah langkah berhingga
• Berakhir
• Terstruktur

1. Merencanakan suatu algoritma

Sebelum merepresentasikan suatu algoritma utk memperoleh solusi dari suatu masalah, ditentukan dahulu model penyelesaiannya. Ada banyak model utk menyelesaikan masalah. Tetapi ada satu model yang terbaik. Sehingga penguasaan teknik variasi disain atau model harus dikuasai sebaik-baiknya.

2. Menyatakan suatu algoritma

Setelah menetapkan model, lalu dibuat representasi atau menyatakan algoritma. Di sini harus dibuat barisan langkah-langkah atau instruksi secara teruut guna menyelesaikan suatu masalah. Pernyataan ini harus dibuat secara singkat, berhingga, terstruktur. Menyatakan algoritma dpt dgn dua cara yaitu: diagram atau pseudococe (bahasa semu)‏

3. Validasi Algoritma

Indikasi dari suatu algoritma yang valid adalah jika penyelesaiannya memenuhi solusi yang sebenarnya. Penyelesaian yg diperoleh harus memecahkan masalah bukan menimbulkan masalah baru. Perhitungan, prosedur, solusi harus selalu benar utk semua jenis kemungkinan masukan.

4. Menganalisis suatu Algoritma

Algoritma dapat dianalisis dari dua sisi yaitu masalah running time yang diperlukan serta besarnya storage/memori yang terlibat. Atau secara singkat yang dianalisis adalah:

Speed & Storage

dua hal ini selalu dikaitkan/dibandingkan dengan ukuran input yang diberikan.

5. Menguji Algoritma Algoritma diuji dengan cara membuat program komputernya. Ada dua fase pengujian:

• Fase debugging; ini utk menemukan kesalahan program baik sintak maupun logika
• Fase profiling; jika sdh benar, maka dapat diukur running time dan pengunaan storage/memorinya

  ANALISIS ALGORITMA:
  Waktu tempuh (running time)‏

• Yang mempengaruhi waktu tempuh adalah:

• Banyaknya langkah
• Besar dan jenis input
• Jenis operasi
• Komputer dan kompilator

ANALISIS ALGORITMA: Jumlah memori/storage Tergantung dari Banyaknya langkah dan Jenis variabel/data yg digunakan

Kompleksitas waktu

Kompleksitas waktu adalah sebuah fungsi f(n) yang diberikan untuk menyatakan waktu tempuh dan kebutuhan storage dengan ukuran n input data.

Definisi 1.

F(n) merupakan “big oh” dari G(n) dengan notasi F(n) = O(G(n)) jika dan hanya jika tedapat dua konstanta bulat positif C dan n_o sedemikian hingga |F(n)|  C |G(n)| untuk setiap n > n_o

Definisi 2

F(n) merupakan “omega” dari G(n) dengan notasi F(n) = Ω (G(n)) jika dan hanya jika terdapat dua buah konstanta positif C dan m sedemikian hingga |F(n)|  C |G(n)| untuk setiap n  m.

Definisi 3

F(n) merupakan “theta” dari G(n) dengan notasi F(n) = Ө (G(n)) jika dan hanya jika terdapat dua buah konstanta positif C₁, C₂ dan m sedemikian hingga

C₁  |F(n)|  C₂ |G(n)| untuk setiap n  m.

Teorema 1:

Jika F(n) adalah fungsi polinomial dalam n dengan derajat m, yang ditulis dengan:

F(n) = a_m N^m + a_m-1 N^m-1 + … + a₁ N + a₀

Maka ‘Big Oh’ dari F(n) adalah N^m yang dinotasikan:

F(n) = O(N^m)‏

Keadaan kompleksitas waktu

• Worst case (nilai maksimum dari nilai F(n) utk semua input yg mungkin. Keadaan yang terburuk dr suatu algoritma)‏
• Average case (keadaan dr waktu tempuh yg ekivalen dgn nilai ekspektasi dari F(n) utk setiap input data yang mungkin. Nilai ekspektasi didefinisikan sbg:

E= n₁ p₁ + n₂ p₂ + ….. + nk pk

n = nilai nilai yang muncul

p = probabilitas dr setiap n yg muncul

cont

3. Best case (suatu keadaan yang merupakan nilai minimum dari F(n) untuk setiap input yang mungkin. Ini keadaan yang terbaik dari suatu algoritma. Dgn demikian waktu tempuhnya minimal.

Contoh:

Jika suatu fungsi F(n)= 3n³ + 2n² merupakan suatu fungsi dari waktu tempuh, maka big oh –nya adalah n³ yang dinotasikan sebagai:

F(n) = O(n³⁾

cont

Dari definisi diperoleh:

Jika F(n) = O(n³⁾ mk akan terdapat dua bilangan C dan n₀ yaitu:

F(0) = 0 -> n₀ =0

F(1) = 5 -> C = 5

Sedemikian hingga berlaku pertidaksamaan:

3n³ + 2n² ≤ 5 n³ utk setiap n  0

Analisa Algoritma

• Operasi Dominan : Perbandingan
• Kompleksitas : O(n)‏
• Kompleksitas waktu

g(n) ≤ cn untuk n < 50

g(n) ≤ g(n/5) + g(3n/4) + cn untuk n ≥ 50

Analisa Algoritma (lanjutan)‏

membutuhkan memori yang cukup besar karena terdapat dua pemanggilan rekursif dan parameternya bertipe array.

Algoritma sederhana lebih efisien dibandingkanalgoritma linear, selain implementasinya sederhana,memori yang diperlukan juga tidak terlalu besar serta datanya menjadi terurut.

Kesimpulan

•  Terdapat dua algoritma untuk mencari elemen terkecil ke-k, yaitu algoritma linear dan algoritma sederhana.
•   Algoritma Linear menggunakan teknik devide and conquer dan teknik programming rekursif.
•   Algoritma linear lebih cepat dibanding algoritma sederhana, akan tetapi perbedaan kecepatannya relatif kecil.
•   Hanya mendapatkan nilai terkecil ke-k, untuk satu nilai k. Untuk nilai k yang lain harus dicari dari awal kembali
•  Algoritma sederhana lebih efisien dibandingkan dengan algoritma linear, selain implementasinya sederhana, juga memori yang digunakan tidak terlalu besar dan selain itu algoritma sederhana mempunyai nilai tambah yaitu datanya menjadi terurut.
•  Untuk menanggulangi kebutuhan memori yang besar pada algoritma linear, disarankan untuk menngunakan struktur data pointer.

MATERI PERILAKU ORGANISASI

PERILAKU ORGANISASI

      

PENGANTAR PRILAKU ORGANISASI

A.  KONSEP PRILAKU ORGANISASI

   a. Organisasi : sistem kerjasama sekelompok orang yang mempunyai aturan & keterikatan tertentu untuk mencapai tujuan yang telah ditentukan.

     b.  Perilaku : sikap & tindakan (behavior; way of thinking or behaving)

     c.   Ilmu Perilaku Organisasi : ilmu tentang perilaku tiap individu & kelompok, serta pengaruh individu & kelompok terhadap organisasi, maupun perilaku interaksi antara individu dengan individu, individu dengan kelompok, serta kelompok dengan kelompok dalam organisasi demi kemanfaatan suatu organisasi.

B.  CARA PANDANG KESISTEMAN

a.   Sistem Tertutup : hasil adalah selalu buah dari suatu usaha, dan manusia adalah bagian dari mesin organisasi yang kompleks.

b.  Sistem Terbuka : kekuatan yang berupa perasaan, norma, dan sikap berpengaruh terhadap perilaku seseorang dalam organisasi.

C.  RUANG LINGKUP PRILAKU

a.   Hart & Scott : para ahli mempunyai pra-anggapan terhadap perilaku manusia

b.  Copernicus : matahari sebagai pusat tata surya / heliosentris

c.   Darwin : teori evolusi

d.  BF Skinner : tindakan manusia di pengaruhi lingkungannya

e.   Machiavelli : autokratis (lebih baik ditakuti daripada di cintai).

D.  TEORI PRILAKU

a.   Spesialisasi

b.  Hierarki

c.   Prosedur / aturan

d.  Hubungan kerja impersonal

e.   Promosi & penghasilan

E.  PRILAKU ORGANISASI DALAM MANAJEMEN

  a. Manajemen Tradisional : Setiap individu memiliki perilaku tertentu dalam perencanaan, organisasi, penggerakan, dan pengawasan (POAC);  Setiap kelompok  mempunyai karakteristik  tertentu dalam berinteraksi di dalam maupun antar kelompok/instansi/unit kerja,

    b.  Manajemen Berdasar Sasaran : setiap idividu atau kelompok memiliki interest tertentu dalam menentukan sasaran kerja tiap unit dan bahkan sasaran organisasi.

    c.   Manajemen Stratejik : Setiap individu atau kelompok memiliki pandangan yang berbeda dalam menganalisa lingkungan, penentu visi dan misi, perumusan strategi, implementasi strategi, maupun pengendalian strategi.

   d.  Manajemen Mutu Terpadu (TQM) :  Setiap individu atau kelompok memiliki tolok ukur mutu yang berbeda dan memiliki komitmen mutu yang berbeda pula.

F.   NILAI KEPUASAN KERJA

a.   Prinsip dasar nilai yang dimiliki setiap individu.

   1.  Pengertian nilai : keyakinan dasar bahwa suatu modus perilaku tertentu lebih disukai secara pribadi atau sosial dibandingkan modus perilaku lainya.

   2.  Sistem Nilai : suatu hierarki yang didasarkan pada suatu peringkat nilai-nilai seorang individu dalam hal intensitasnya.

   3.  Sumber Nilai : orang tua/keluarga; masyarakat; pendidikan.

   4.   Hubungan nilai & perilaku :

     a)  Sistem nilai yang dianut seseorang akan berpengaruh thd perilaku seseorang karena nilai mempengaruhi sikap dan sikap mempengaruhi perilaku.

     b)  Seseorang yang memiliki sistem nilai lebih tinggi cenderung berperilaku lebih terkendali dibanding seseorang yang memiliki sistem nilai lebih rendah.

   c)  Seseorang yang memiliki sistem nilai yang berbeda akan mempengaruhi pandangan tentang mutu suatu tindakan

b.  Tekanan psikologis

  1.  Suatu keadaan dimana seseorang tidak mampu memberi jawaban secara wajar & tepat terhadap rangsangan dari sekitarnya, atau mampu tetapi dengan biaya yang terlalu besar seperti kelelahan kronis, tertekan, khawatir, gangguan fisik, gangguan syaraf atau kehilangan harga diri.

  2.  Penyebab tekanan psikologis

       a)  Kurang diterima di lingkungannya

       b)  Jenjang hierarki/strata sosial

       c)  Kompetisi

       d)  Ketidakpastian peranan

       e)  Perubahan

  3.  Bentuk Tekanan

       a)  Frustasi

       b)  Cemas

       c)  Rendah diri

c.   Kepuasan Kerja Individu

     1.  Rasa Senang dan Puas Selama dan Setelah Melakukan Suatu Pekerjaan

    2.  Hal-Hal yang Menentukan Kepuasan Kerja : Imbalan yang pantas; Kondisi kerja yang mendukung; Kesesuaian antara kemampuan dan level kesulitan kerja; Kesesuaian antara kepribadian dan jenis pekerjaan; Melakukan pekerjaan yang secara mental menantang.

d.  Motivasi individu

  Proses pengembangan dan pengarahan perilaku agar individu menghasilkan keluaran/output yang diharapkan, sesuai dengan sasaran atau tujuan yang ingin dicapai.

G.  MODEL PRILAKU ORGANISASI

   a.   Tingkat INDIVIDU

    1.  Karakteristik yang dibawa oleh individu ke dalam organisasi, seperti misalnya persepsi, kepribadian, motivasi.

   2.  Hal-hal dalam organisasi, yang bisa mempengaruhi sikap, persepsi, motivasi, dan kepuasan kerja individu.

   3.  Kepribadian dan implikasinya pada perilaku dan performansi di tempat kerja.

  b.  Tingkat KELOMPOK

     Pokok bahasan pada tingkatan ini terutama mengenai Dinamika Kelompok, termasuk di dalamnya antara lain : uraian tentang pembentukan kelompok, proses-proses yang terjadi dalam kelompok, keterpaduan kelompok, kompetisi dan konflik.

  

  c.   Tingkatan ORGANISASI

    Yang dibahas dalam tingkatan ini,antara lain adalah :

       1. Bagaimana pengaruh dari ukuran organisasi,

       2.  Iklim organisasi,

       3.  Kebijakan organisasi,

     4.  Tingkat hirarki dalam organisasi

MATERI SISTEM BERKAS

SISTEM BERKAS

Pengertian system berkas dan akses

• Sistem berkas atau Pengarsipan yaitu suatu system untuk mengetahui bagaimana cara menyimpan data dari file tertentu dan organisasi file yang digunakan

• Sistem akses adalah cara untuk mengambil informasi dari suatu file

Pengersipan dan akses adalah :

1. Cara untuk membentuk suatu arsip / file dan cara pencarian record-recordnya kembali
2. Sistem berkas dan Akses adalah system pengorganisasian, pengelolaan dan penyimpanan data pada alat penyimpanan eksternal dengan organisasi file tertentu. Pada system berkas dan akses penyimpanan data dilakukan secara fisik.
3. Teknik yang digunakan untuk menggambarkan dan menyimpan record pada file disebut organisasi file
4. Secara lebih spesifik pengersipan dan akses berhubungan dengan :

       **Insert    : Menyisipkan data baru atau tambahan ke tumpukan data lama
       **Update  : mengubah data lama dengan data baru
       **Reorganisasi : penyusunan kembali record-record dari suatu file.

Bentuk atau representasi dari data ada 2 yaitu :

1. Data Logik (Data rancangan), yaitu data yang hanya baru menjadi sebuah rencana data di level konseptual. Misalnya penggambaran data dengan metode E-R, model objek, model semantic, dan lain-lain.
2. Data Fisik, yaitu data yang sudah jadi, data yang merupakan hasil terakhir dari data logic yang biasanya disimpan dalam media penyimpanan.
3. 
   

Klasifikasi Data dibagi menjadi 3, yaitu :

1. Data tetap, yaitu data yang tidak mengalami perubahan-perubahan, bersifat tetap dan biasanya dalam melakukan perubahan membutuhkan waktu yang lama.
2. Data tidak tetap, yaitu data yang mengalami perubahan secara rutin dan sukar untuk diprediksi karena sifatnya yang berubah-ubah.
3. Data yang bertambah menurut waktu, yaitu kelompok data ini biasanya merupakan gabungan data tetap dan data tidak tetap.

Istilah-istilah dasar yang digunakan dalam system berkas :

Data : Representasi dari fakta yang dimodelkan dalam bentuk gambar, kata, angka, huruf dan lain sebagainya.

Elemen data : salah satu nilai tunggal dengan satu petunjuk nama dan deskripsi karakteristik seperti tipe ( Char, nomor, kode ) dan panjang karakter atau digit.

Item Data : Referensi nama dan himpunan karekteristik elemen-elemen data yang menggambarkan suatu attribute, atau tempat menyimpan setiap attribute dari sebuah entitas.

Entitas : ekumpulan Objek yang terbatas / terdefinisikan yang mempunyai karakteristik sama dan bisa di bedakan dari lainnya. Objek dapat berupa barang, orang, tempat atau suatu kejadian. Contoh : entitas mobil, mahasiswa, nilai ujian dll

Attribut : Deskripsi data yang bisa mengidentifikasikan entitas. Seluruh attribute harus cukup untuk menyatakan identitas objek atau dengan kata lain kumpulan attribute dari setiap entitas dapat mengidentifikasikan keunikan suatu individu. Contoh : entitas mobil terdiri dari attribute no polisi, no registrasi, jenis mobil, tahun pembuatan, bahan bakar yang digunakan, dll

Field : Lokasi penyimpanan untuk salah satu elemen data, atau seuatu elemen yang memiliki attribute dan harga dan merupakan unit informasi terkecil yang bisa diakses.

Record : Lokasi penyimpanan yang terbuat dari rangkaian field yang berisi elemen-elemen data yang menggambarkan beberapa entitas.

File : Sekumpulan record dari tipe tunggal yang berisi elemen-elemen data yang menggambarkan himpunan entitas

Akses Data : Satu cara dimana suatu program mengakses secara fisik record-record dalam file penyimpanan.

Operasi Berkas

Cara memilih organisasi berkas tidak terlepas dari 2 aspek utama yaitu :

Model Penggunaannya, ada 2 cara :

Batch, yaitu suatu proses yang dilakukan secara kelompok

Iteratif, yaitu suatu proses yang dilakukan secara satu persatu yaitu record per record.

Model Operasi Berkas, dibagi menjadi :

Creation (membuat), ada 2 cara :

Membuat struktur berkas lebih dahulu dan menentukan banyaknya record, baru kemudian reecord-record dimuat ke dalam berkas tersebut.
Membuat record dengan cara merekam record per record

  Update, pengubahan isi dari berkas diperlukan untuk menjaga berkas update

   + Penyisipan dan penambahan record
   + Perbaikan record
   + Penghapusan record

   Retrieval, pengaksesan sebuah berkas untuk tujuan mendapatkan informasi.

Maintenance ( perbaikan )
Perubahan yang dibuat terhadap berkas dengan tujuan memperbaiki program dalam mengakses berkas tersebut.
   - Restructuring
   - Reorganisasi

METODE NUMERIK

Metode Numerik

Definisi, Prinsip dan Pemakaian or Kegunaan Metode Numerik

Metode Numerik adalah mata kuliah yang katanya finishing dari Aljabar Linear, Kalkulus dan Matematika diskrit.

Yuk's kita kenali, apa ce Metode Numerik itu??!! Let's GO....

1. Definisi Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

Mengapa Harus Metode Numerik ?

Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.

Jadi, Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakanmetode numerik sebagai elternative penyelesaian persoalan tersebut.

2. Prinsip-Prinsip Metode Numerik

-> Digunakan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi

-> Metode Numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik

-> Pendekatannya merupakan analisis matematis

-> Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah

-> Karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)

-> Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan.

3. Pemakaian Metode Numerik

Pemakaian Metode Numerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu :

a. Menyelesaikan persamaan non linier

b. Menyelesaikan persamaan simultan

c. Menyelesaikan differensial dan integral

d. Interpolasi dan Regresi

e. Menyelesaikan persamaan differensial

f. Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

4. Kegunaan Metode Numerik

Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.  Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.

1. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial.  Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
2. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
3. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau  program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
4. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana  yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

Interpolasi

Interpolasi adalah hal yang paling susah untuk saya pahami, jika ada soal dan mengharuskan saya melakukan modus interpolasi maka saya pun akan merasa malas dan menyontek teman padahal interpolasi itu tidaklah sesulit yang dibayangkan dan itu terjadi pada saya.

ada beberapa metode penyelesaian kasus-kasus interpolasi namun yang saya akan jelaskan kali ini adalah metode interpolasi perbandingan segitiga:

contoh : 

  

jika Y = 17, berapa nilai Z

Penyelesaian :

karena nilai Y = 17  itu artinya range didapat antara 15 sampai 20

dari tabel didapatkan;

H1=58

H2=70

B1=20-17=3

B2=20-15=5

          nilai x didapat = 65,20 

Metode integrasi numerik 

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang lazim digunakan :

Metoda Euler Eksplisit

merupakan metoda integrasi yang paling mudah

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}$

Metoda Euler Implisit

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k}}$

Pada metoda integrasi implisit nilai aktual ${\displaystyle x_{k}}$ juga digunakan sebagai umpan balik. Umpan balik ini dapat menyebabkan terjadinya lingkaran aljabar. Untuk menghindarinya maka bentuk persamaan diubah menjadi seperti ini

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}=f(x_{k-1},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-hJ]^{-1}{\dot {x}}_{k}}$

J adalah matrix Jacobi. Pada sistem linear dan invarian terhadap waktu, maka matrix J = A

Metoda Heun

Algoritma integrasi Heun memerlukan dua masukan yaitu ${\displaystyle u_{k}}$ dan ${\displaystyle u_{k-1}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$

${\displaystyle x_{k}^{p}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p}=f(x_{k}^{p},u_{k})}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k-1}+{\dot {x}}_{k}^{p})}$

Metoda Runge-Kutta

merupakan integrator dengan empat masukan.

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$

${\displaystyle x_{k-0.5}^{p1}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}=f(x_{k-0.5}^{p1},u_{k-0.5})}$

${\displaystyle x_{k-0.5}^{p2}=x_{k-1}+{h \over 2}{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}=f(x_{k-0.5}^{p2},u_{k-0.5})}$

${\displaystyle x_{k}^{p3}=x_{k-1}+h{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}^{p3}=f(x_{k}^{p3},u_{k})}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 6}({\dot {x}}_{k-1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p1}+2{\dot {x}}_{k-0.5}^{p2}+{\dot {x}}_{k}^{p3})}$

Metoda Trapesium (Trapez)

merupakan nilai tengah dari metoda Euler eksplisit dan metoda Euler implisit.

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}=f(x_{k-1},u_{k-1})}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=Ax_{k}+Bu_{k}=f(x_{k},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+{h \over 2}({\dot {x}}_{k}+{\dot {x}}_{k+1})}$

Sama halnya dengan metoda Euler implisit, metoda ini dapat menyebabkan lingkaran aljabar. Oleh karena itu, bentuk persamaan ini diubah menjadi seperti ini

${\displaystyle {\dot {x}}_{k-1}=Ax_{k-1}+{B \over 2}(u_{k-1}+u_{k})=f(x_{k-1},u_{k-1},u_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=x_{k-1}+h[I-{h \over 2}J]^{-1}{\dot {x}}_{k}}$

Metode Newton–Cotes

No.	Nama Aturan	Rumus	Estimasi Kesalahan
1	Trapezoid	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	Simpson 1/3	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	Simpson 3/8	${\displaystyle {\frac {3(b-a)}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3(b-a)^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	Boole atau Bode	${\displaystyle {\frac {2(b-a)}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	$$

Persamaan linear simultan

Persamaan linear simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:


Dimana :

a i j untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i
untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Persamaan linier simultan diatas dapatdinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu:

Matrik A = Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian
Vektor x = Vektor variabel
Vektor B= Vektor konstanta

Augmented Matrix ( matrik perluasan) dari persamaan linier simultan adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Teorema Persamaan Linier Simultan

Suatu persamaanlinier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat syarat sebagai berikut :

(1) Ukuran persamaan linier simultan bujur sangkar, dimana jumlah persamaan sama denganjumlahvariable bebas.

(2) Persamaanlinier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.

(3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Persamaan Non Linear

Kita ketahui bahwa persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel (silahkan baca pengertian persamaan linear dua variabel). Bagaimana dengan persamaan nonlinear dua variabel? Persamaan nonlinear dua variabel biasanya dinyatakan dalam bentuk ax2 + by2 = c atau (a/x) + (b/x) = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel. Contoh persamaan linear dua variabel yakni:

1) x2 – y2 = 8

2) (2/x) + (5/y) = 7

3) 5a2 + b2 = 7

4) –a2 – 4b2 = 9

5) 2/a + 3/b = 3

Kenapa persamaan di atas disebut nonlinear? Persamaan linear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya berupa garis lurus (linear), sedangkan persamaan nonlinear jika digambarkan ke dalam grafik maka grafiknya bukan garis lurus melainkan berupa garis lengkung, seperti contoh persamaan di atas. Silahkan Anda buktikan sendiri pada persamaan di atas, apakah benar bentuk grafiknya bukan garis lurus.

 

Sekarang, bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel seperti soal (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6?

Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya terlebih dahulu ke bentuk linear. Bagaimana mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear? Ok, sekarang kita selesaikan contoh soal di atas. Persamaan nonlinear (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 dapat diubah menjadi linear dengan cara membuat permisalan. Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, sehingga persamaan linear dua variabelnya menjadi:

(1/x) + (5/y) = 5 => a + 5b = 5

(2/x) + (3/y) = 6 => 2a + 3b = 6

Kemudian, selesaikan persamaan-persamaan tersebut dengan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan metode yang Anda sudah pahami. Misalkan kita gunakan cara cepat, yakni:

a + 5b = 5

2a + 3b = 6

=> b = (1.6 – 5.2)/(1.3 – 5.2)

=> b = (6 – 10)/3 – 10

=> b = (– 4)/(– 7)

=> b = 4/7

Selanjutnya substitusi nilai b = 4/7 ke persamaan a + 5b = 5, sehingga diperoleh:

=> a + 5b = 5

=> a + 5(4/7) = 5

=> a + 20/7 = 5

=> a = 5 – (20/7)

=> a = (35/7) – (20/7)

=> a = 15/7

Setelah diperoleh nilai a dan b, kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

1/x = 15/7

x = 7/15

1/y = b

1/y = 4/7

y = 7/4

Jadi, penyelesaian persamaan (1/x) + (5/y) = 5 dan (2/x) + (3/y) = 6 adalah x = 7/15 dan y = 7/4.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

1). 2x2 – 3 = –(1 + y)2 dan x2 + (1 + y)2 = 2

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Penyelesaian:

1). Kita ketahui bahwa persamaan 2x2 – 3 = –(1 + y)2 ekuivalen dengan 2x2 + (1 + y)2 = 3, maka:

2x2 + (1 + y)2 = 3

x2 + (1 + y)2 = 2

Misalkan x2 = a dan (1 + y)2 = b, maka:

2x2 + (1 + y)2 = 3 =>2a + b = 3

  x2 + (1 + y)2 = 2 =>   a + b = 2

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.2 – 3.1)/(2.1 – 1.1)

=> b = 1

Substitusi nilai b = 1 ke persamaan a + b = 2, sehingga diperoleh:

=> a + b = 2

=> a + 1 = 2

=> a = 1

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

x2 = a

=> x2 = 1

=> x = 1

 (1 + y)2 = b

=> (1 + y)2 = 1

=> 1 + y = 1

=> y = 0

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1 dan y = 0.

2). (2/x) + (3/y) = 12 dan (3/x) – (1/y) = 7

Misalkan 1/x = a dan 1/y = b, maka:

(2/x) + (3/y) = 12 => 2a + 3b = 12

(3/x) –  (1/y) = 7  => 3a  – b  = 7

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (2.7 – 3.12)/(2.( –1) – 3.3)

=> b = (14 – 36)/( –2 – 9)

=> b = –22/–11

=> b = 2

Substitusi nilai b = 2 ke persamaan 3a  – b  = 7, sehingga diperoleh:

=> 3a  – b  = 7

=> 3a  – 2  = 7

=> 3a = 7 + 2

=> 3a = 9

=> a = 3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

1/x = a

=> 1/x = 3

=> x = 1/3

1/y = b

=> 1/y = 2

=> y = 1/2

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 1/3 dan y = 1/2

3). √x + √y = 4 dan 2√x – √y = 3

Misalkan √x = a dan √y = b, maka:

√x  +  √y = 4 => a  +  b = 4

2√x – √y = 3 => 2a– b = 3

Kita gunakan cara cepat, yakni:

=> b = (1.3 – 4.2)/(1.( –1) – 1.2)

=> b = (– 5)/( –3)

=> b = 5/3

Substitusi nilai b = 3/4 ke persamaan a + b = 4, sehingga diperoleh:

=> a + b = 4

=> a + 5/3 = 4

=> a = 4 – 5/3

=> a = (12/3) – (5/3)

=> a = 7/3

Kembalikan nilai a dan b ke pemisalan semula, yakni:

√x = a

=> √x = 7/3

=> x = (7/3)2

=> x = 49/9

√y = b

=> √y = 5/3

=> y = (5/3)2

=> y = 25/9

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 49/9 dan y = 25/9